Consigne: Soit \(X\sim\mathcal{Géom}(\alpha)\)
Pour \(k\in{\Bbb N}\), calculer \(P(X\gt k)\)

Série géométrique

$$\begin{align} P(X\gt k)&=\sum^{+\infty}_{i=k+1}P(X=i)\\ &=\sum^{+\infty}_{i=k+1}\alpha(1-\alpha)^{i-1}\\ &=\alpha\frac{(1-\alpha)^k}{1-(1-\alpha)}\\ &=(1-\alpha)^k\end{align}$$

Consigne: Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires indépendantes telles que \(X\sim\mathcal{Géom}(\alpha)\) et \(Y\sim\mathcal{Géom}(\beta)\) avec \(\alpha,\beta\in]0,1]\)
On note \(Z\) la variable aléatoire définie par : $$\forall\omega\in\Omega,\qquad Z(\omega)=\min(X(\omega),Y(\omega))$$
Sachant que \(P(X\gt k)=(1-\alpha)^k\) et que \(\{Z=k\}=(\{Y=k\}\cap\{X\gt k\})\cup(\{Y\gt k\}\cap\{Z=k\})\cup(\{X=k\}\cap\{Y=k\})\), calculer la loi de \(Z\)
Comment s'appelle-t-elle ?

Calcul de \(P(Z=k)\)
$$\begin{align} P(Z=k)&=(\Y=k\\ cap\X>k\)\cup(\Y>k\\ cap{\Bbb Z}=k\)\cup(\X=k\\ cap\Y=k\))\\ &=P(Y=k)P(X>k)+P(Y>k)P(Z=k)+P(X=k)P(Y=k)\\ &=
(1-\alpha-\beta+\alpha\beta)^k-1(\alpha+\beta-\alpha\beta)\end{align}$$

Nommer la loi

Donc \(Z\sim\mathcal{Géom}(\alpha+\beta-\alpha\beta)\)

Consigne: Soient \(T\) et \(U\) deux variables aléatoires indépendantes de loi géométrique de paramètres \(\alpha\) et \(\beta\) (avec \(\alpha,\beta\) fixés dans \(]0,1[\))
Calculer la loi de leur somme \(T+U\), dans le cas où \(\alpha\ne\beta\), puis dans le cas où \(\alpha=\beta\)
En déduire que, quand \(\alpha=\beta\), \(T+U\) est la loi du second succès dans une suite d'épreuves indépendantes, où la probabilité de succès vaut \(\alpha\)

Calcul de la série dans le cas \(\alpha\ne\beta\)
$$\begin{align} P(T+U=k)&=\sum^{k-1}_{i=1}P(T=i,U=k-i)\\ &=\sum^{k-1}_{i=1}P(T=i)P(U=k-i)\\ &=\sum^{k-1}_{i=1}\alpha(1-\alpha)^{i-1}\beta(1-\beta)^{k-i-1}\\ &={\alpha\beta(1-\beta)^k\over(1-\alpha)(1-\beta)}\sum^{k-1}_{i=1}\left(\frac{1-\alpha}{1-\beta}\right)^i\tag1\\ \text{si }\alpha\ne\beta,\qquad\qquad&=\frac{\alpha\beta(1-\beta)^k}{(1-\alpha)(1-\beta)}\cfrac{\left(\cfrac{1-\alpha}{1-\beta}\right)^1-\left(\cfrac{1-\alpha}{1-\beta}\right)^k}{1-\cfrac{1-\alpha}{1-\beta}}\end{align}$$

Simplification
$$\begin{align}&=\alpha\beta\frac{\left(\cfrac{1-\alpha}{1-\beta}\right)(1-\beta)^k-(1-\alpha)^k}{(1-\alpha)(1-\beta-(1-\alpha))}\\ &=\alpha\beta{(1-\alpha)(1-\beta)^{k-1}-(1-\alpha)^k\over(1-\alpha)(\alpha-\beta)}\\ &=\alpha\beta{(1-\beta)^{k-1}-(1-\alpha)^{k-1}\over\alpha-\beta}\end{align}$$
On a bien la symétrie avec \(\alpha\) et \(\beta\), donc ça a l'air correct

Calcul dans le cas \(\alpha=\beta\)
D'après \((1)\), si \(\alpha=\beta\), alors on a : $$\begin{align} P(T+U=k)&=\alpha^2(1-\alpha)^{k-2}\sum^{k-1}_{i=1}1\\ &=(k-1)\alpha^2(1-\alpha)^{k-2}\end{align}$$

Explication

En effet, \(T\) est le nombre de tentatives jusqu'au premier succès et \(V\) le nombre de tentatives après le premier succès pour obtenir un autre succès
Donc \(T+U\) est le nombre de tentatives pour obtenir le deuxième succès, dans une suite de tentatives indépendantes avec proba de succès \(\alpha\)
Donc le facteur \(\alpha^2(1-\alpha)^{k-2}\) correspond donc au fait que, dans les \(n\) premières tentatives, il y a \(2\) succès et \(n-2\) échecs
Et le facteur \(k-1\) correspond au fait qu'il faut placer le premier succès parmi les \(k-1\) tentatives

Consigne: Soient \(T\) et \(U\) deux variables aléatoires indépendantes de loi géométrique de paramètres \(\alpha\) et \(\beta\) (avec \(\alpha,\beta\) fixés dans \(]0,1[\))
Dans le cas \(\alpha=\beta\), calculer \(P(T\ne U)\)

Exprimer la série
$$\begin{align} P(T\ne U)&=1-P(T=U)\\ &=1-\sum^{+\infty}_{n=1}P(T=n,U=n)\\ &=1-\sum^{+\infty}_{n=1}P(T=n)P(U=n)\\ &=1-\sum^{+\infty}_{n=1}\alpha^2(1-\alpha)^{2n-2}\end{align}$$

Exprimer et calculer la série géométrique

$$\begin{align}&=1-\frac{\alpha^2}{(1-\alpha)^2}\sum^{+\infty}_{n=1}(1-\alpha)^n\\ &=1-\frac\alpha{2-\alpha}\\ &=\frac{2-2\alpha}{2-\alpha}\end{align}$$